Question

圖1是一個(gè)正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方體中將MN和PB畫出來(lái)，并就這個(gè)正方體解決下列問(wèn)題
（1）求證：MN∥平面PBD； 
（2）求證：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）畫出MN和PB如圖所示，求證：MN∥平面PBD，只需證MN∥BD；
（2）只需證BD⊥AQ，PD⊥AQ，通過(guò)直線與平面垂直的判定定理證明：AQ⊥平面PBD．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面的法向量求出二面角的余弦函數(shù)值．

解答： （1）證明：在正方體ABCD-PMQN中
∵M(jìn)N∥BD，
∴MN∥平面PBD
（2）證明：在正方體ABCD-PMQN中，
∵BD⊥AC，BD⊥CQ，AC∩CQ=C
∴BD⊥平面ACQ
∴BD⊥AQ，
同理可證：PD⊥AQ，
∵BD∩PD=D，
∴AQ⊥平面PBD
（3）解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1
則 A（1，0，0），Q（0，1，1），C（0，1，0）
由知平面PBD的一個(gè)法向量是

AQ

=（-1，1，1）
平面MBD的一個(gè)法向量是

AC

=（-1，1，0）
∴cos＜

AQ

，

AC

＞=

AQ • AC

| AQ || AC |

=

2

3 • 2

=

6

3

∴二面角P-DB-M的余弦值為 

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點(diǎn)，而用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB、CD分別是二面α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量

AB

與

CD

的夾角；  ②設(shè)

n1

，

n2

分別是二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量

n1

，

n2

的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角的平面角的大�。�