Question

已知函數(shù)f（x）=a+

2x-1

2x+1

，f（-1）=-

1

3

（1）求f（x）定義域和a的值
（2）判斷f（x）奇偶性并證明
（3）證明f（x）在定義域上為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將f（-1）=-

1

3

代入函數(shù)表達(dá)式求出即可，（2）可以采用函數(shù)的奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性，（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0，從而解決問題．

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋篟，
f（-1）=a+

2-1-1

2-1+1

=a-

1

3

=-

1

3

，
∴a=0，
（2）f（x）是偶函數(shù)，證明如下：
由（1）得：f（x）=

2x-1

2x+1

，
∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1 2x -1

1 2x +1

=

2x-1

2x+1

=f（x），
定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
（3）證明：∵f′（x）=

(2x-1)′(2x+1)-(2x+1)(2x-1)′

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的定義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．