Question

如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面底面ABCD，且，若E，F分別為PC，BD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面PAD；

（2）求證：平面PDC平面PAD；

（3）求四棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；

（2）先證，進(jìn)而證明，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；

（3）

【解析】

試題分析：（1）連接EF，AC

∵四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形且點(diǎn)F為對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，         

∴對(duì)角線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，                                                      ……1分

又在中，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，

∴EF為的中位線(xiàn)，

∴，                                                                  ……2分

又，                                                 ……3分

∴平面PAD.                                                               ……4分

（2）∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形 

∴   ，                                                                 ……5分

又側(cè)面底面ABCD，，側(cè)面底面ABCD=AD，

∴.                                                           ……7分

又

∴平面PDC平面PAD .                                                         ……8分

（3）過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線(xiàn)PG，垂足為點(diǎn)G，

∵側(cè)面底面ABCD，，側(cè)面底面ABCD=AD，

∴，即PG為四棱錐的高，                            ……9分

又且AD=a，

∴ ，                                                                 ……10分

∴ 。                          ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查線(xiàn)面平行、面面垂直的證明和體積的計(jì)算.

點(diǎn)評(píng)：證明線(xiàn)面平行、面面垂直時(shí)要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，定理中的條件要一一列出來(lái)，缺一不可，如證明線(xiàn)面平行時(shí)，要強(qiáng)調(diào).