Question

如圖，在銳角三角形ABC中，D為C在AB上的射影，E為D在BC上的射影，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)，且滿足

EF

FD

=

AD

DB

．
（Ⅰ）證明：CF⊥AE；
（Ⅱ）若AD=2，CD=3．DB=4，求tan∠BAE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì),圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：三角函數(shù)的求值,立體幾何

分析：（Ⅰ）要證CF⊥AE，只需證有∠AGC=∠ADC=90°，即證A、D、G、C四點(diǎn)共圓；先證△CDE∽△DBE，再證△CDF∽△ABE，從而得出∠DCG=∠DAG，即證四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）Rt△CEF中，求出tan∠ECF、tan∠DCB的值，即可求出tan∠DCF，即是tan∠BAE的值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：設(shè)CF與AE交于點(diǎn)G，連接DG，如圖；

∵

EF

FD

=

AD

DB

，∴

ED

FD

=

AB

DB

，又△CDE∽△DBE，
∴

CD

DE

=

DB

BE

．于是有

CD

FD

=

AB

BE

，
注意到∠CDF=∠ABE，∴△CDF∽△ABE，
∴∠DCG=∠DAG，∴A、D、G、C四點(diǎn)共圓．從而有∠AGC=∠ADC=90°，
∴CF⊥AE．
（Ⅱ）在Rt△CEF中，∴∠ECF=∠AED，
BC=5，DE=

12

5

，
∴EF=

4

5

，由CD²=CE•CB，知CE=

9

5

，
∴tan∠ECF=

4

9

．又tan∠DCB=

4

3

，∴tan∠DCF=

4 3 - 4 9

1+ 16 27

=

24

43

．
故tan∠BAE=

24

43

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何證明的有關(guān)問題，也考查了一定的邏輯思維能力、空間思維能力與幾何語言表達(dá)能力，解題時(shí)應(yīng)借助于幾何圖形，認(rèn)真分析，細(xì)心解答，以免出錯(cuò)．