Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c在x₁處取得極大值，在x₂處取得最小值，滿足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），則a+2b的取值范圍是（　�。�

• A、（-11，-3）
• B、（-6，-4）
• C、（-11，3）
• D、（-16，-8）

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，建立不等式組，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意得導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b，
此函數(shù)圖象開口向上，x₁，x₂為導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
又滿足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），
則有

f′(-1)=1-a+b＞0 f′(1)=1+a+b＜0 f′(2)=4+2a+b＜0 f′(4)=16+4a+b＞0

，
那么點(diǎn)（a，b）所滿足的平面區(qū)域如圖所示為四邊形ABCD內(nèi)的部分（不包含邊界），
令z=a+2b，易知點(diǎn)（a，b）為點(diǎn)A（-5，4）時(shí)，z有最大值3，
點(diǎn)（a，b）為點(diǎn)B（-3，-4）時(shí)，z有最小值-11，
所以a+2b的取值范圍為（-11，3）．
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及一元二次方程根的發(fā)布，利用線性規(guī)劃的知識求解是解決本題的關(guān)鍵．