Question

若曲線f（x）=xsinx+1在x=

π

2

處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直，則(ax2-

1

x

)5展開式中x的系數(shù)為（　�。�

• A、40
• B、-10
• C、10
• D、-40

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意可得 f′（

π

2

）=

2

a

，求得a=2．在(ax2-

1

x

)5=(2x2-

1

x

)5 的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，可得(ax2-

1

x

)5展開式中x的系數(shù)．

解答： 解：由題意可得曲線f（x）=xsinx+1在x=

π

2

處的切線斜率為

2

a

，
故有f′（

π

2

）=

2

a

，即 sin

π

2

+

π

2

cos

π

2

=

2

a

，解得a=2．
則(ax2-

1

x

)5=(2x2-

1

x

)5 的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 5

•2^5-r•（-1）^r•x^10-3r，
令10-3r=1，求得r=3，故(ax2-

1

x

)5展開式中x的系數(shù)為-10×4=-40，
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．