Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x-ax²-lnx．
（1）若f（x）是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁、x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，滿足函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，從而求出a的范圍，
（2）表示出f（x₁）+f（x₂）=lna+

1

4a

+ln2+1，通過求導(dǎo)進行證明．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-

2ax2-x+1

x

，（x＞0），
不妨設(shè)φ（x）=2ax²-x+1（x＞0），
則關(guān)于x的方程2ax²-x+1=0的判別式△=1-8a，
當a≥

1

8

時，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
當0＜a＜

1

8

時，△＞0，方程f′（x）=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則當x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）時f′（x）＜0，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，f（x）不是單調(diào)函數(shù)，
綜上，a的范圍是[

1

8

，+∞），
（2）由（1）知當且僅當a∈（0，

1

8

）時f（x）有極小值x₁ 和極大值x₂，
且x₁，x₂是方程的兩個正根，則x₁+x₂=

1

2a

，x₁ x₂=

1

2a

，
∴f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）-a[(x1+x2)2-2x₁ x₂]-（lnx₁+lnx₂）
=ln(2a)+

1

4a

+1=lna+

1

4a

+ln2+1(0＜a＜

1

8

)，
令g（a）=lna+

1

4a

+ln2+1，
當a∈（0，

1

8

）時，g′（a）=

4a-1

4a2

＜0，
∴g（a）在（0，

1

8

）內(nèi)單調(diào)遞減，
故g（a）＞g（

1

8

）=3-2ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．