Question

4．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓C的一
個頂點，B是直線AF₁與橢圓C的另一個交點，∠F₁AB=90°，△F₁AB的面積為$\frac{4}{3}$
（1）求橢圓C的方程
（2）設(shè)P是橢圓C上的一個動點，點P關(guān)于原點的對稱點為Q，求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值
圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)|BF₂|=t（t＞0），確定$t=\frac{a}{3}$，$|{AB}|=\frac{4a}{3}$，利用△F₁AB的面積為$\frac{4}{3}$，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動點P坐標(biāo)為（x，y），確定B點坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合橢圓方程，即可求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$的取值
圍．

解答 解：（1）$|{A{F_1}}|=\sqrt{{{|{AO}|}^2}+{{|{O{F_1}}|}^2}}=\sqrt{{b^2}+{c^2}}=a$，
又∵|AF₁|=|AF₂|，∴|AF₂|=a，----------------------------（1分）
設(shè)|BF₂|=t（t＞0），由橢圓定義知|BF₁|+|BF₂|=2a，∴|BF₁|=2a-t，-----------------（2分）
∵∠F₁AB=90°，∴${|{B{F_1}}|^2}={|{A{F_1}}|^2}+{|{AB}|^2}$，
即（2a-t）²=a²+（a+t）²，∴$t=\frac{a}{3}$，$|{AB}|=\frac{4a}{3}$----------------（3分）
∵${S_{△{F_1}AB}}=\frac{1}{2}|{A{F_1}}|•|{AB}|$，∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{2}a•\frac{4}{3}a$，∴$a=\sqrt{2}$---------------（4分）
∵∠F₁AB=90°，|OA|=|OF₂|，∴b=c，
∵a²=b²+c²，∴b=1，---------------------------------（5分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$----------------------------------------（6分）
（2）設(shè)動點P坐標(biāo)為（x，y），
∵點P關(guān)于原點的對稱點為Q，∴Q點坐標(biāo)為（-x，-y），-------------------------（7分）
由A（0，1），F(xiàn)₂（1，0），得直線AF₂的方程為y=1-x，-----------------------（8分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$，∴B點坐標(biāo)為$（\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}）$，-----------------------（10分）
∴$\overrightarrow{BP}=（x-\frac{4}{3}，y+\frac{1}{3}）$，$\overrightarrow{BQ}=（-x-\frac{4}{3}，-y+\frac{1}{3}）$，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=（x-\frac{4}{3}）（-x-\frac{4}{3}）+（y+\frac{1}{3}）（-y+\frac{1}{3}）=-{x^2}-{y^2}+\frac{17}{9}$------------------（11分）
=$-{x^2}-（1-\frac{x^2}{2}）+\frac{17}{9}=-\frac{1}{2}x{\;}^2+\frac{8}{9}$，------------------------------------------（12分）
點P在橢圓上，∴$-\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}$，∴0≤x²≤2，-------------------------------（13分）
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$的取值范圍為$[-\frac{1}{9}，\frac{8}{9}]$．--------------------------------（14分）

點評 本題主要考查橢圓的定義與性質(zhì)，直線、橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．