Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=
sin（A-B）
（1）求B的大�。�
（2）若b=$2\sqrt{7}$，求△ABC的面積；
（3）若1≤a≤6，求sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槔�用兩角和公式�?duì)已知等式化簡(jiǎn)可求得cosB的值，進(jìn)而求得B．
（2）根據(jù)余弦定理求得a，繼而利用三角形面積公式求得答案．
（3）利用余弦定理求得b，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得sinC的表達(dá)式，根據(jù)a范圍確定sinC的范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閟inA=sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB
所以cosB=$\frac{1}{2}$．B=60°
（2）根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得（2$\sqrt{7}$）²=a²+6²-12acos$\frac{π}{3}$，即a²-6a+8=0，
解得：a=2或a=4$當(dāng)a=2時(shí)，{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac{sinB}=\frac{1}{2}•2•6•sin\frac{π}{3}=3\sqrt{3}$；當(dāng)a=4時(shí)，S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$•4•6•sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$．
（3）由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB=a²-6a+36，
即$b=\sqrt{{a^2}-6a+36}$，
由正弦定理$\frac{c}{sinc}=\frac{sinB}，即sinC=\frac{csinB}=\frac{{6•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{{a^2}-6a+36}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{\sqrt{{{（a-3）}^2}+27}}}$，
∵$a∈[1，6]，\sqrt{{{（a-3）}^2}+27}∈[3\sqrt{3}，6]$，
從而sinC的取值范圍為$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用．作為解三角形的常用公式，學(xué)生應(yīng)能熟練記憶．