Question

設(shè)W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：
①對任意n∈N₊，

an+an+2

2

≤an+1恒成立；
②對任意n∈N₊，存在與n無關(guān)的常數(shù)M，使a_n≤M恒成立．
（1）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2+5n-2ⁿ⁺¹，且數(shù)列{a_n}∈W，求M的最小值；
（2）若{b_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項和，且b₃=4，S₃=18，試探究數(shù)列{S_n}與集合W之間的關(guān)系．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由無窮數(shù)列的定義求得a_n，進而求得最小值；
（2）由（1）求得數(shù)列{b_n}的通項公式，由題意聯(lián)立方程組求得首項和公差，進而求得s_n，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）因為a₁=s₁=3，
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2+5n-2ⁿ⁺¹-[2+5（n-1）-2ⁿ]=5-2ⁿ．…（3分）
n=1滿足上式，所以a_n=5-2ⁿ（n∈N^*）．…（4分）
顯然a_n=5-2ⁿ＞5-2^n-1=a_n-1（n≥2），即{a_n}為遞減數(shù)列，…（5分）
所以a_n≤a₁=3，所以M的最小值為3．…（6分）
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，依題意有

b1+2d=4 3b1+3d=18

，得b₁=8，d=-2．…（8分）
所以s_n=-n²+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，即當(dāng)n=4或n=5時，s_n取得最大值20，即s_n≤20，符合②．…（10分）
于是

sn+sn+2

2

-s_n+1=

(-n2+9n)+[-(n+2)2+9(n+2)]

2

-[-（n+1）²+9（n+1）]=-1＜0
即對任意n，恒有

sn+sn+2

2

＜s_n+1符合①．      …（12分）
綜上所述，有{s_n}∈W．．…（13分）

點評：本題屬于新概念題，考查學(xué)生的閱讀理解能力，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性判斷和利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系求最大值知識，綜合性強，屬于難題．