Question

6．設(shè)一動圓過點F₂（1，0），且與定圓F₁：（x+1）²+y²=16相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F₂的直線l與動圓圓心軌跡交于M，N兩點，是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在請求出直線l的方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由定圓的方程求得定圓圓心和半徑，得到關(guān)系|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₂F₁|=2，可知動圓圓心軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，由此得到動圓圓心軌跡方程．
（Ⅱ）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩張情況討論：①當直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意；②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵定圓（x+1）²+y²=16的圓心為F₁（-1，0），半徑為4，
設(shè)動圓圓心P（x，y），
由題意可知：4-|PF₁|=|PF₂|，
即|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₂F₁|=2，
∴動圓圓心軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，
且2a=4，a=2，2c=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
則動圓圓心軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當直線斜率不存在時，M（1，$\frac{3}{2}$），N（1，-$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1-$\frac{9}{4}$=-$\frac{5}{4}$，不合題意．
②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由直線與橢圓聯(lián)立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2
所以k=$±\sqrt{2}$，
故直線l的方程為y=$±\sqrt{2}$（x-1）．

點評 本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，是中檔題．