Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，其三視圖和直觀圖如圖所示，E為BC中點． （Ⅰ）求此幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：平面PAE⊥平面PDE．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由三視圖可知底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4， 定點P在面ABCD內的射影為BC的中點E，棱錐的高為2，
∴此幾何體的體積 ．
證明：（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴PE⊥AE，
取AD中點F，∵AB=CE=BE=2，∴ ，∴AE⊥ED，
∵ED∩AE=E，∴AE⊥平面PED，∵AE平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PDE．

【解析】（Ⅰ）由三視圖可知底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4，定點P在面ABCD內的射影為BC的中點E，棱錐的高為2，由此能求出此幾何體的體積．（Ⅱ）推導出PE⊥AE，AE⊥ED，從而AE⊥平面PED，由此能證明平面PAE⊥平面PDE．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．