Question

已知冪函數(shù)y=f（x）=x-2m2-m+3，其中m∈[-2，2]，m∈Z，滿足
（1）定區(qū)間（0，+∞）的增函數(shù)；
（2）對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；
求同時(shí)滿足（1）（2）的冪函數(shù)f（x）的解析式，并求x∈[0，3]時(shí)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)的關(guān)系，可得m∈（-

3

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，1），結(jié)合m∈Z，可得m=-1，或m=0，再結(jié)合對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；可得當(dāng)m=0時(shí)，y=f（x）=x³滿足條件，進(jìn)而可得x∈[0，3]時(shí)f（x）的值域．

解答： 解：∵冪函數(shù)y=f（x）=x-2m2-m+3在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，
則-2m²-m+3＞0，
即2m²+m-3＜0，
解得：m∈（-

3

2

，1），
又∵m∈Z，
∴m=-1，或m=0，
當(dāng)m=-1時(shí)，y=f（x）=x²為偶函數(shù)，不滿足f（-x）+f（x）=0；
當(dāng)m=0時(shí)，y=f（x）=x³為奇函數(shù)，滿足f（-x）+f（x）=0；
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）∈[0，27]，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，27]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是冪函數(shù)圖象及其指數(shù)的關(guān)系，冪函數(shù)的概念，解析式，值域，熟練掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．