Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在，使得，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;(2) .

【解析】試題分析：(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)（較復(fù)雜），再對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)（恒正），從而導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，而導(dǎo)函數(shù)有一零點 ，所以導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律可定，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)性，(2) 原題意等價于，而由（1）可得函數(shù)最小值為，最大值為,從而本題關(guān)鍵判斷大小，構(gòu)造差函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)差函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，且，可分類討論大小關(guān)系，最后解出的取值范圍.

試題解析：(1),設(shè),則，所以在上單調(diào)遞增，又因為，故有唯一解，所以的變化情況如下表所示:

	遞減	極小值	遞增

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2) 因為存在，使得,所以當(dāng)時，.由（1）知，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時， ,而

,記,

因為(當(dāng)時取等號), 所以在上單調(diào)遞增.而，故當(dāng)時，；當(dāng)時，. ①當(dāng)時，由，得，得； ②當(dāng)時，由，得，得， 綜上可知，所求取值范圍為.