Question

【題目】如圖， 在四棱錐中， 底面， ，， ，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（1）證明：：

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若為棱上一點(diǎn)， 滿足， 求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2） （3）

【解析】

（1）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出，由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.

（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；

（3）由點(diǎn)在棱上，設(shè)，再由，結(jié)合，由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個(gè)平面夾角的余弦值，再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.

（1）證明：∵底面，，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵，，點(diǎn)為棱 的中點(diǎn)．

∴，，，，

，

，

.

（2）,

設(shè)平面的法向量為.

則，代入可得，

令解得，即，

設(shè)直線與平面所成角為，由直線與平面夾角可知

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3），

由點(diǎn)在棱上，設(shè)，

故，

由，得，

解得，

即，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

令，則

取平面的法向量，

則二面角的平面角滿足，

由圖可知，二面角為銳二面角，

故二面角的余弦值為.