Question

已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=10^f（x）+3x，求函數(shù)g（x）的值域；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程|g（x）|=m恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，列出不等式組，解得即可．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求得即可，
（Ⅱ）先求出g（x），再求g（x）的最值，問題得以解決．
（Ⅲ）求出|g（x）|的值域，再結(jié)合圖象得到答案，

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
∴

2+x＞0 2-x＞0

，
解得-2＜x＜2，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2），
∵f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²），
設(shè)u（x）=-x²+4，
∴u（x）在（-2，0）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（-2，0）上單調(diào)遞增，
（Ⅱ）∵g（x）=10^f（x）+3x，（-2＜x＜2）
∴g（x）=4-x²+3x=-（x-

3

2

）+

25

4

，
當(dāng)x=

3

2

∈（-2，2），g（x）_max=

25

4

，
∵g（-2）=-6，g（2）=6，
∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?6，

25

4

）
（Ⅲ）∵x的方程|g（x）|=m恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
如圖所示，由（Ⅱ）可知函數(shù)|g（x）|的值域?yàn)閇0，

25

4

]，
∴m∈（0，

25

4

）且m=6，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍（0，6）∪（6，

25

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)定義域值域的求法，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．