已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，試問：在直線上是否存在點(diǎn)P，使得是正三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
（1）橢圓的方程為.（2）存在符合題意的點(diǎn).

試題分析：（1）由題意得                      2分
解得
（2）討論當(dāng)直線的斜率為0時，不存在符合題意的點(diǎn)； 
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為,
代入，整理得,
設(shè)，，應(yīng)用韋達(dá)定理得到，,
設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，
從而弦長
,
設(shè)線段的中點(diǎn)，則，
所以,
根據(jù)是正三角形，得到，且,                   
由得,
得到,
由得關(guān)于的方程，
解得..
（1）由題意得                      2分
解得                          4分
所以橢圓的方程為.                5分
（2）當(dāng)直線的斜率為0時，不存在符合題意的點(diǎn)；        6分
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為,
代入，整理得,
設(shè)，，則，,
設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，
則

,              8分
設(shè)線段的中點(diǎn)，則，
所以,
因為是正三角形，所以，且,       9分
由得即，所以,
所以,     10分
由得，
解得，所以.                    12分
由得,
所以,
所以存在符合題意的點(diǎn).                  14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知對，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（  ）
A．(0, 1)B．(0,5)C．[1,5)D．[1,5)∪(5，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知直線： 和橢圓，橢圓C的離心率為，連結(jié)橢圓的四個頂點(diǎn)形成四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)時，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為P，M為橢圓C上的動點(diǎn)，求線段PM長度的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知動圓：，則圓心的軌跡是（   ）
A．直線　　B．圓　C．拋物線的一部分　D．橢圓

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，試探討點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

（2013•浙江）如圖F1、F2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（　　）

A．       B．       C．       D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)， .
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）已知A，B，C是軌跡的三個動點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（   ）
A．
B．
C．
D．

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