如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長．C2與y軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M的兩條互相垂直的直線l1，l2分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交橢圓于D、E兩點(diǎn)，
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）記△MAB，△MDE的面積分別為S1、S2，若
S1
S2
=
5
8
，求直線AB的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長，建立方程，求出幾何量，即可求C1、C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MA、MB的方程與y=x2-1聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S1，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S2，利用
S1
S2
=
5
8
，即可求直線AB的方程．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，
∴a2=2b2，
令x2-b=0可得x=±
b
，
∵x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長，
∴2
b
=2b，
∴b=1，
∴C1、C2的方程分別為
x2
2
+y2=1，y=x2-1；   …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線MA的斜率為k1，直線MA的方程為y=k1x-1與y=x2-1聯(lián)立得x2-k1x=0
∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12-1）
同理可得B（k2，k22-1）…（7分）
∴S1=
1
2
|MA||MB|=
1
2
1+k12
•
1+k22
|k1||k2|…（8分）
y=k1x-1與橢圓方程聯(lián)立，可得D（
4k1
1+2k12
，
2k12-1
1+2k12
），
同理可得E（
4k2
1+2k22
，
2k22-1
1+2k22
）                …（10分）
∴S2=
1
2
|MD||ME|=
1
2
1+k12
•
1+k22
•
|16k1k2|
(1+2k12)(1+2k22)
 …（12分）
∴
S1
S2
=
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)
16
=
5+(
k
2
1
+
1
k
2
1
)
16

若
S1
S2
=
5
8
則
5+2(
k
2
1
+
1
k
2
1
)
16
=
5
8
解得
k
2
1
=2或
k
2
1
=
1
2

∴直線AB的方程為y=
2
2
x或y=-
2
2
x…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，聯(lián)立方程，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若（1-x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5；則f（x）=a2x2+a1x+a0的單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列三個(gè)命題：
①在區(qū)間[0，1]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則事件“x2+y2＞1成立”的概率是1-
π
4
；
②函數(shù)f（x）關(guān)于（3，0）點(diǎn)對(duì)稱，滿足f（6+x）=f（6-x），且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，則f（x）在[6，9]上為減函數(shù)；
③滿足A=30°，BC=1，AB=
3
的△ABC有兩解．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列關(guān)于極限的計(jì)算，錯(cuò)誤的是（　�。�
A、
lim
n→∞
2n2+n+7
5n2+7
=
lim
n→∞
2+
1
n
+
7
n2
5+
7
n2
=
2
5
B、
lim
n→∞
（
2
n2
+
4
n2
+…+
2n
n2
）=
lim
n→∞
2
n2
+
lim
n→∞
4
n2
+…+
lim
n→∞
2n
n2
=0+0+…+0=0
C、
lim
n→∞
（
n2+n
-n）=
lim
n→∞
n
n2+n
+n
=
lim
n→∞
1
1+
1
n
+1
=
1
2
D、已知an=
2-n(n為奇數(shù))
3-n(n為偶數(shù))
，則
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)=
2-1
1-2-2
+
3-2
1-3-2
=
19
24

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將曲線C1：(x-4)2+y2=4所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="3bhs4yg" class="MathJye">
1
2
得到曲線C2，將曲線C2向左（x軸負(fù)方向）平移4個(gè)單位，得到曲線C3．
（Ⅰ）求曲線C3的方程；
（Ⅱ）垂直于x軸的直線l與曲線C3相交于C、D兩點(diǎn)（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直線AC、BD相交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)P為圓心的圓與圓x2+y2-2y=0外切且與x軸相切（兩切點(diǎn)不重合）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線mx-y+2m+5=0（m∈R）與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，問：當(dāng)m變化時(shí)，以線段AB為直徑的圓是否會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)？若會(huì)，求出此定點(diǎn)；若不會(huì)，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF1F2面積的最大值等于2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）作直線l與直線MF2垂直，試判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系．
（Ⅲ）直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是拋物線W：y=x2上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），直線AB的斜率為k，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若拋物線W的焦點(diǎn)在直線AB的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且AB⊥AC，過B，C兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為D，求|OD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中：①函數(shù)f(x)=sinx+
2
sinx
(x∈(0，π))的最小值是2
2
；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；
③如果正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b＞c，則
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；
④如果y=f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x0）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x0處取到極值的必要不充分條件．
其中正確的命題是
 
．

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