已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為
2
2
,P是橢圓上一點,且△PF1F2面積的最大值等于2.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點M(0,2)作直線l與直線MF2垂直,試判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系.
(Ⅲ)直線y=2上是否存在點Q,使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)通過橢圓性質(zhì)列出a,b,c的方程,其中離心率e=
c
a
,分析圖形知道當(dāng)點P在短軸端點時,△PF1F2 面積取最大值,從而建立關(guān)于a,b,c的方程,解出a2,b2,c2,即求出橢圓的標準方程.
(Ⅱ)列出過定點直線的方程,其與直線MF2垂直,求出其斜率,聯(lián)立橢圓方程,得出△=0,判斷出直線l與橢圓的位置關(guān)系.
(Ⅲ)對于存在性問題,要先假設(shè)存在,先設(shè)切線y=k(x-m)+2,與橢圓聯(lián)立,利用△=0,得出關(guān)于斜率k的方程,利用兩根之積公式k1k2=-1,求出Q點坐標.
解答: 解:(Ⅰ)∵點P在橢圓上,∴-b≤yp≤b,
∴當(dāng)|yp|=b時,△PF1F2面積最大,
且最大值為
1
2
|F1F2||yp|
=
1
2
•2c•b=bc=2

又∵e=
c
a
=
2
2
,
∴a2=4,b2=c2=2,
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1
2
,0),
kMF1=-
2
2
=-
2
,
∴直線l的斜率kl=
2
2
,直線l的方程
2
2
x+2
,
x2
4
+
y2
2
=1
y=
2
2
x+2
,消去y,整理,得:
x2+2
2
x+2=0
△=(2
2
)2-8=0
,
∴直線l與橢圓相切.
(Ⅲ)假設(shè)直線y=2上存在點Q滿足題意,
設(shè)Q(m,2),當(dāng)m=±2時,從Q點所引的兩條切線不垂直.
當(dāng)m≠±2時,設(shè)過點Q向橢圓所引的切線的斜率為k,則l的方程為y=k(x-m)+2,
y=k(x-m)+2
x2
4
+
y2
2
=1
,消去y,整理得:
(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,
∵△=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,
∴(m2-4)k2-4mk+2=0,*
設(shè)兩條切線的斜率分別為k1,k2,
則k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的兩個根,
∴k1k2=
2
m2-4
=-1,
解得m=±
2
,點Q坐標為(
2
,2),或(-
2
,2).
∴直線y=2上兩點(
2
,2
),(-
2
,2)滿足題意.
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷,考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法,此題較難,分類討論要全面.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知x,y滿足
x≥1
x+y≤4
ax+by+c≤0
,且2x+y的取值范圍是[1,7],則
a+b+c
a
=( 。
A、1B、2C、-1D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面幾個命題中,假命題是( 。
A、“若a≤b,則2a≤2b-1”的否命題
B、“?a∈(0,+∞),函數(shù)y=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定
C、“π是函數(shù)y=sinx的一個周期”或“2π是函數(shù)y=sin2x的一個周期”
D、“x2+y2=0”是“xy=0”的必要條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長.C2與y軸的交點為M,過點M的兩條互相垂直的直線l1,l2分別交拋物線于A、B兩點,交橢圓于D、E兩點,
(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1
S2
=
5
8
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點A(-1,1),離心率為
6
3

(I)求橢圓C的方程
(II)設(shè)點B是點A關(guān)于原點的對稱點,P是橢圓C上的動點(不同于A,B),直線AP,BP分別與直線x=3交于點M,N,問是否存在點P使得△PAB和△PMN的面積相等,若存在,求出點P的坐標,若不存在請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l1過A(0,1),與直線x=-2相交于點P(-2,y0),直線l2過B(0,-1)與x相交于Q(x0,0),x0、y0滿足y0-
x0
2
=1
,l1∩l2=M.
(Ⅰ)求直線l1的方程(方程中含有y0);
(Ⅱ)求點M的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B,F(xiàn)2為C的右焦點,求△ABF2面積最大時點F2到直線l的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=
x+3
-1
x+2
的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
過點(
3
,
2
2
)
,它的離心率為
6
2
,P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上,M是線段PQ中點,|PQ|=2
2

(Ⅰ)求雙曲線及其漸近線方程;
(Ⅱ)求點M的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B,F(xiàn)2為C的右焦點,求△ABF2面積最大時
F2A
F2B
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
log4x ,x>0
3x ,   x≤0
,則f[f(
1
4
)]=
 

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