Question

4．設(shè)曲線f（x）=$\frac{x}{lnx}$在點P（x，f（x））處的切線在y軸上的截距為b，則當x∈（1，+∞）時，b的最小值為（　�。�

• A． e
• B． $\frac{e}{2}$
• C． $\frac{{e}^{2}}{2}$
• D． $\frac{{e}^{2}}{4}$

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，可得切線斜率，由直線的斜率公式可得b=$\frac{x}{l{n}^{2}x}$，x＞1．再由導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，即為最小值．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{lnx-x•\frac{1}{x}}{（lnx）^{2}}$=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
則點P（x，f（x））處的切線斜率k=f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
則切線方程為Y-$\frac{x}{lnx}$=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$（X-x），
令X=0，則Y=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$•（-x）+$\frac{x}{lnx}$，
即b=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$•x+$\frac{x}{lnx}$=$\frac{x}{（lnx）^{2}}$，
則b′=$\frac{（lnx）^{2}-x•2lnx•\frac{1}{x}}{（lnx）^{4}}$=$\frac{（lnx）^{2}-2lnx}{（lnx）^{4}}$=$\frac{lnx-2}{l{n}^{3}x}$，
當x＞1時，lnx＞0，
由b′=$\frac{lnx-2}{l{n}^{3}x}$＜0得1＜x＜e²，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由b′=$\frac{lnx-2}{l{n}^{3}x}$＞0得x＞e²，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
故當x=e²時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值，此時b=$\frac{{e}^{2}}{（ln{e}^{2}）^{2}}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故選：D

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義：曲線在該點處切線的斜率，主要考查運用導數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間和極值、最值，正確求導是解題的關(guān)鍵．