Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$-|x-a|，（a＞0，x＞0），
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，4]時，若f（x）≥x-3恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）討論a的取值范圍即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，4]時，若f（x）≥x-3恒成立，分別討論a的取值范圍即可求a的取值集合．

解答 解：（1）當(dāng)x≥a時，f（x）=$\frac{a}{x}$-x+a，此時函數(shù)為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[a，+∞），
當(dāng)x＜a時，f（x）=$\frac{a}{x}$+x-a，則函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$）上遞減，在[$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
若$\sqrt{a}$≥a，即0＜a≤1時，則函數(shù)在（0，a）上為減函數(shù)，
若$\sqrt{a}$＜a，即a＞1時，函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$）上遞減，在[$\sqrt{a}$，a）遞增，
綜上當(dāng)0＜a≤1時，則函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)a＞1時，則函數(shù)在（0，$\sqrt{a}$）上遞減，在[$\sqrt{a}$，a）遞增，（a，+∞）上為減函數(shù)．
（2）當(dāng)0＜a≤4時，
當(dāng)a≤x≤4時，$\frac{a}{x}$-x+a≥x-3，即2x²-（3+a）x-a≤0
設(shè)g（x）=2x²-（3+a）x-a，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（a）≤0}\\{g（4）≤0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4a≤0}\\{a≥4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤4}\\{a≥4}\end{array}\right.$，解得a=4，
當(dāng)0＜x＜a時，$\frac{a}{x}$+x-a≥x-3，即$\frac{a}{x}$+3-a≥0，
∴0＜a＜4，
當(dāng)a＞4時，$\frac{a}{x}$+x-a≥x-3，即$\frac{a}{x}$+3-a≥0，解得a≤4不成立
綜上所述，a=4．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，根據(jù)絕對值的意義，利用分類討論的思想進(jìn)行求解，綜合性較強，難度較大．