Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

xex+1

．
（1）證明：0＜f（x）≤1；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＞

1

ax2+1

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于e^x＞0，所求證f（x）＞0，故只需分母xe^x+1＞0即可，設(shè)函數(shù)g（x）=xe^x+1，對g（x）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，證明最小值大于0即可，所求證的不等式右邊，需證明函數(shù)f（x）的最大值為1即可，對f（x）求導(dǎo)，判斷單調(diào)性求最大值；
（2）結(jié)合第一問的結(jié)論0＜f（x）≤1，討論a的正負(fù)，當(dāng)a=0時，

1

ax2+1

=1，而f（x）＞1與0＜f（x）≤1矛盾，當(dāng)a＜0時，當(dāng)0＜x＜

1

-a

時，

1

ax2+1

＞1與0＜f（x）≤1矛盾，當(dāng)a＞0時，分母ax²+1＞0，去分母，f（x）＞

1

ax2+1

等價于（ax²-x+1）e^x-1＞0．設(shè)出新函數(shù)h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，需要討論a的情況，判斷在每種情況下，h（x）是否大于0，綜合上述所有情況，寫出符合題意的a的取值范圍．

解答： （1）證明：設(shè)g（x）=xe^x+1，則g′（x）=（x+1）e^x，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
∴g（x）≥g（-1）=1-e^-1＞0．
又e^x＞0，故f（x）＞0．
f′（x）=

ex(1-ex)

(xex+1)2

，
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）≤f（0）=1．
綜上，有0＜f（x）≤1．
（2）解：①若a=0，則x＞0時，f（x）＜1=

1

ax2+1

，不等式不成立．
②若a＜0，則當(dāng)0＜x＜

1

-a

時，

1

ax2+1

＞1，不等式不成立．
③若a＞0，則f（x）＞

1

ax2+1

等價于（ax²-x+1）e^x-1＞0．（*）
設(shè)h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，則h′（x）=x（ax+2a-1）e^x．
若a≥

1

2

，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）＞h（0）=0．
若0＜a＜

1

2

，則當(dāng)x∈(0，

1-2a

a

)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）=0．
于是，若a＞0，不等式（*）成立當(dāng)且僅當(dāng)a≥

1

2

．
綜上，a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力．