Question

4．已知函數(shù)f（x）=k（x+1）²-x，g（x）=lg（x+k）（k∈R）．
（1）若f（1）=23，求函數(shù)g（x）在區(qū)間（4，+∞）上的值域；
（2）當(dāng)0＜g（1）≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值大于h（x）=$\frac{1}{{tan}^{2}x}$+$\frac{4}{{cos}^{2}x}$在（0，$\frac{π}{4}$]上的最小值，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=23，求得k=6，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得g（x）的值域；
（2）由0＜g（1）≤1時，求得k的范圍，再由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值可能是頂點處或端點處取得，求得k的范圍，再由同角的基本關(guān)系式，結(jié)合基本不等式，可得g（x）的最小值為8，再解不等式即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）f（1）=23，即為4k-1=23，解得k=6，
g（x）=lg（x+6），
由g（x）在（4，+∞）上遞增，即有g(shù)（x）＞1，
則g（x）的值域為（1，+∞）；
（2）當(dāng)0＜g（1）≤1，即為0＜lg（1+k）≤1，
可得0＜k≤9，
函數(shù)f（x）=k（x+1）²-x=kx²+（2k-1）x+k，
對稱軸為x=-1+$\frac{1}{2k}$，
即有f（x）的最小值只能在對稱軸或兩端點處取得．
若f（0）=k為最小值，即有[0，2]遞增，即-1+$\frac{1}{2k}$≤0，
解得$\frac{1}{2}$≤k≤9；
若f（2）=9k-2為最小值，即有[0，2]遞減，即-1+$\frac{1}{2k}$≥2，
解得0＜k≤$\frac{1}{6}$；
若對稱軸處取得最小值1-$\frac{1}{4k}$，即有0＜-1+$\frac{1}{2k}$＜2，
解得$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
h（x）=$\frac{1}{{tan}^{2}x}$+$\frac{4}{{cos}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$-1
=（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）-1
=4+$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$≥4+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}•\frac{4si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$=$\frac{4si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$，即有tanx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（0，1]，取得最小值8．
（由0＜x≤$\frac{π}{4}$，可得0＜tanx≤1），
由題意可得當(dāng)$\frac{1}{2}$≤k≤9，且k＞8，即有8＜k≤9；
當(dāng)0＜k≤$\frac{1}{6}$，且9k-2＞8，即有k∈∅；
當(dāng)$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$時，且1-$\frac{1}{4k}$＞8，解得k∈∅．
綜上可得k的范圍是（8，9]．

點評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查三角函數(shù)的最值求法，注意運用平方關(guān)系和基本不等式，同時考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．