Question

19．設(shè)A，B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上兩個(gè)相異的、不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)．求線段AB的中垂線在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)AB所在直線方程為y=kx+m（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步寫(xiě)出AB的垂直平分線方程，得到線段AB的中垂線在y軸上的截距，結(jié)合一元二次方程的判別式大于0求得截距的范圍．

解答 解：如圖，
由題意可設(shè)AB所在直線方程為y=kx+m（k≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
△=16k²m²-（4+8k²）（2m²-2）=16k²-8m²+8．
由△＞0，得$-\sqrt{1+2{k}^{2}}＜m＜\sqrt{1+2{k}^{2}}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$-\frac{4{k}^{2}m}{1+2{k}^{2}}+2m=\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為C（$-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}，\frac{m}{1+2{k}^{2}}$）．
∴AB的垂直平分線方程為y-$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}（x+\frac{2km}{1+2{k}^{2}}）$．
取x=0，得y=$-\frac{m}{1+2{k}^{2}}$．
∵$-\frac{m}{1+2{k}^{2}}∈（-（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}，（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}）$，
且$（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$∈（0，1），
∴線段AB的中垂線在y軸上的截距的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓相交問(wèn)題，訓(xùn)練了根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．