Question

近年來，我國很多城市都出現(xiàn)了嚴(yán)重的霧霾天氣．為了更好地保護(hù)環(huán)境，2012年國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，其中規(guī)定：居民區(qū) 的PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米．某城市環(huán)保部門在2014年1月1日到 2014年3月31日這90天對某居民區(qū)的PM2.5平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

組別	PM2.5濃度（微克/立方米）	頻數(shù)（天）
第一組	（0，35]	24
第二組	（35，75]	48
第三組	（75，115]	12
第四組	＞115	6

（Ⅰ）在這90天中抽取30天的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步分析，每一組應(yīng)抽取多少天？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過75（微克/立方米）的若干天中，隨機(jī)抽取2天，求至少有一天平均濃度超過115（微克/立方米）的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計算公式,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由這90天中的數(shù)據(jù)中，各個數(shù)據(jù)之間存在差異，故應(yīng)采取分層抽樣，計算出抽樣比k后，可得每一組應(yīng)抽取多少天？
（Ⅱ）設(shè)PM2.5的平均濃度在（75，115]內(nèi)的4天記為A，B，C，D，PM2.5的平均濃度在115以上的兩天記為1，2，列舉出從6天任取2天的所有情況和滿足至少有一天平均濃度超過115（微克/立方米）的情況數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵這90天中的數(shù)據(jù)中，各個數(shù)據(jù)之間存在差異，
∴這90天中抽取30天，應(yīng)采取分層抽樣，
則k=

30

90

=

1

3

，
則每一組抽取24×

1

3

=8天；
第二組抽取48×

1

3

=16天；
第三組抽取12×

1

3

=4天；
第四組抽取6×

1

3

=2天． …（4分）
（Ⅱ）設(shè)PM2.5的平均濃度在（75，115]內(nèi)的4天記為A，B，C，D，PM2.5的平均濃度在115以上的兩天記為1，2，
則從6天任取2天的情況有：
AB，AC，AD，A1，A2，
BC，BD，B1，B2，CD，
C1，C2，D1，D2，12，共15種      …（8分）
記“至少有一天平均濃度超過115（微克/立方米）”為事件A，其中符合條件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，12共9種．
所以，所求事件A的概率P（A）=

9

15

=

3

5

．          …（12分）

點(diǎn)評：此題考查了古典概型概率計算公式，分層抽樣，掌握古典概型概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．