Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，

π

2

），求α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最小正周期T和單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用f（a）=3求得sin（2a+

π

6

）的值，進(jìn)而求得a．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，
=

3

sin2x+2-

1-cos2x

2

+1
=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2．
所以最小正周期為：T=

2π

2

=π
當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）時(shí)函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．      
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，
∴f（α）=2sin（2α+

π

6

）+2=3，
∴sin（2α+

π

6

）=

1

2

，
∵α∈(0，

π

2

)，
∴2α+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴2α+

π

6

=

5π

6

，
∴α=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．要充分利用好三角函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題．