Question

16．在△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，如果PB，PC與平面ABC所成角分別為30°、60°，那么PD與平面ABC所成角的大小為45°．

Answer 1

分析 設(shè)PA=1，由已知求出PB=2，AB=$\sqrt{3}$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，從而得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=1，由此能求出PD與平面ABC所成角的大�。�

解答 解：設(shè)PA=1，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，如果PB，PC與平面ABC所成角分別為30°、60°，
∴∠ABP=30°，∠ACP=60°，∠ADP是PD與平面ABC所成角，
∴PB=2，AB=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，AC=1×cot60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}\sqrt{3-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}$=1，
∴tan$∠ADP=\frac{PA}{AD}$=1，
∴∠ADP=45°．
∴PD與平面ABC所成角的大小為45°．
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．