Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，a₁=1，（n∈N_n）
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通項公式（不需要證明）；
（2）令b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件，運用代入法和歸納猜想，即可得到所求；
（2）由數(shù)列的通項，運用裂項相消求和，化簡整理即可得到前n項的和．

解答 解：（1）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，a₁=1，
可得a₂=$\frac{{a}_{1}}{2{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{{a}_{2}}{2{a}_{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{2{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{7}$，
歸納上述猜想可得a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．