Question

16．平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是不在x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足條件：過P可作拋物線y²=4x的兩條切線，兩切點(diǎn)連線l_P與PO垂直，設(shè)直線l_P與PO，x軸的交點(diǎn)分別為Q，R．
（1）證明：R是一個(gè)定點(diǎn)；
（2）求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l_P的方程為ny=2（m+x），利用兩切點(diǎn)連線l_P與PO垂直，$\frac{2}{n}×\frac{n}{m}$=-1，即可得證；
（2）直線PO的方程為y=$\frac{n}{m}$x=-$\frac{n}{2}$x，代入直線l_P的方程，求得Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得到|PQ|，|QR|，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．

解答 （1）證明：設(shè)以A（x₁，y₁）為切點(diǎn)的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），
聯(lián)立拋物線方程，可得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，
由△=4（2-ky₁）²=0，
得k=$\frac{2}{{y}_{1}}$，所以切線PA：y₁y=2（x+x₁）
同理以B（x₂，y₂）為切點(diǎn)的切線方程為y₂y=2（x+x₂），
設(shè)P（m，n），則ny₁=2（m+x₁），ny₂=2（m+x₂），
∴直線l_P的方程為ny=2（m+x），
∵兩切點(diǎn)連線l_P與PO垂直，
∴$\frac{2}{n}×\frac{n}{m}$=-1，
∴m=-2，
∴直線l_P的方程為ny=2（x-2），
∴R（2，0）為定點(diǎn)；
（2）解：直線PO的方程為y=$\frac{n}{m}$x=-$\frac{n}{2}$x，代入直線l_P的方程，求得Q（$\frac{8}{{n}^{2}+4}$，$\frac{-4n}{{n}^{2}+4}$），
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{8}{{n}^{2}+4}+2）^{2}+（\frac{4n}{{n}^{2}+4}+n）^{2}}$=$\frac{（{n}^{2}+8）\sqrt{{n}^{2}+4}}{{n}^{2}+4}$，
|QR|=$\sqrt{（\frac{8}{{n}^{2}+4}-2）^{2}+（\frac{4n}{{n}^{2}+4}）^{2}}$=$\frac{2n\sqrt{{n}^{2}+4}}{{n}^{2}+4}$，
如圖，由對(duì)稱性，不妨取n＞0，則$\frac{|PQ|}{|QR|}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{8}{n}$）≥2$\sqrt{2}$，∴求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用判別式為0，同時(shí)考查直線垂直的條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．