設函數(shù)f(x)=x3-ax2+3x+b,a,b是實常數(shù),其圖象在點(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(1)求a的值;
(2)若對任意x∈[-1,4],都有f(x)>f′(x)成立,求b的取值范圍.
解:(1)求導函數(shù)可得f′(x)=3x2-2ax+3,∴f′(1)=6-2a
∵圖象在點(1,f(1))處的切線平行于x軸
∴f′(1)=0
∴6-2a=0,∴a=3;
(2)對任意x∈[-1,4],都有f(x)>f′(x)成立,等價于b>-x3+6x2-9x+3在[-1,4]上恒成立;
令g(x)=-x3+6x2-9x+3,x∈[-1,4],只要b>gmax(x)
∵g′(x)=-3x2+12x-9
令g′(x)>0,可得1<x<3,令g′(x)<0,可得x<1,或x>3
∴函數(shù)在(1,3)上單調(diào)增,在(-∞,1),(3,+∞)上單調(diào)減
∴x=3時,函數(shù)取得極大值為g(3)=3
∵g(-1)=19,g(4)=-1
∴g(x)在[-1,4]上的最大值為19
∴b>19
分析:(1)求導函數(shù),利用圖象在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,可得f′(1)=0,從而可求a的值;
(2)對任意x∈[-1,4],都有f(x)>f′(x)成立,等價于b>-x3+6x2-9x+3在[-1,4]上恒成立,利用導數(shù)法求出右邊函數(shù)的最大值,即可求b的取值范圍.
點評:本題重點考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,同時考查學生分析解決問題的能力.