Question

5．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù)，按十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉得到的莖葉圖如圖所示．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為10．
（1）求（a，b）的值；
（2）分別求出甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差S_甲²和S_乙²，并由此分析兩組技工的加工水平
（3）質(zhì)檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機(jī)抽取一名技工，對(duì)其加工的零件進(jìn)行檢測(cè)，若兩人加工的合格零件數(shù)之和大于17，則稱該車間“質(zhì)量合格”，求該車間“質(zhì)量合格”的概率．
（注：方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，$\overline{x}$為數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析 （1）由題意根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式分別求出m，n的值．
（2）分別求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件數(shù)的方差${S}_{甲}^{2}$和${S}_{乙}^{2}$，再根據(jù)它們的平均值相等，可得方差較小的發(fā)揮更穩(wěn)定一些．
（3）用列舉法求得所有的基本事件的個(gè)數(shù)，找出其中滿足該車間“質(zhì)量合格”的基本事件的個(gè)數(shù)，即可求得該車間“質(zhì)量合格”的概率．

解答 解：（1）由題意得$\overline{x_甲}=\frac{1}{5}（{7+8+10+12+10+m}）=10$，
解得m=3，
再由$\overline{x_乙}=\frac{1}{5}（{n+9+10+11+12}）=10$，
解得n=8；
（2）分別求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件數(shù)的方差：
$S_甲^2=\frac{1}{5}[{{{（{7-10}）}^2}+{{（{8-10}）}^2}+{{（{10-10}）}^2}+{{（{12-10}）}^2}+{{（{13-10}）}^2}}]=5.2$，
$S_乙^2=\frac{1}{5}[{{{（{8-10}）}^2}+{{（{9-10}）}^2}+{{（{10-10}）}^2}+{{（{11-10}）}^2}+{{（{12-10}）}^2}}]=2$，
并由$\overline{x_甲}=\overline{x_乙}，S_甲^2＜S_乙^2$，
可得兩組技工水平基本相當(dāng)，乙組更穩(wěn)定些．
（3）質(zhì)檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機(jī)抽取一名技工，
對(duì)其加工的零件進(jìn)行檢查，設(shè)兩人加工的合格零件數(shù)分別為（a，b），
則所有的（a，b）有：
（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、
（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、
（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、
（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、
（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共計(jì)25個(gè)，
而滿足a+b≤17的基本事件有：
（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共計(jì)5個(gè)基本事件，
故滿足a+b＞17的基本事件個(gè)數(shù)為25-5=20，
所以該車間“質(zhì)量合格”的概率為$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方差的定義和求法，古典概型問(wèn)題，可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問(wèn)題的一種重要的解題方法，屬于中檔題