【題目】如圖，某市有一條東西走向的公路l，現(xiàn)欲經(jīng)過(guò)公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m，在施工過(guò)程中發(fā)現(xiàn)O處的正北方向1百米的A處有一漢代古跡，為了保護(hù)古跡，該市委決定以A為圓心，1百米為半徑設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)，為了連通公路l，m，欲再新建一條公路PQ，點(diǎn)P，Q分別在公路l，m上（點(diǎn)P，Q分別在點(diǎn)O的正東、正北方向），且要求PQ與圓A相切.

（1）當(dāng)點(diǎn)P距O處2百米時(shí)，求OQ的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)公路PQ的長(zhǎng)最短時(shí)，求OQ的長(zhǎng).

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，然后利用直線與圓的相切列出關(guān)于關(guān)于q的方程解之即可；

（2）利用截距式方程給出直線的方程，然后利用直線與圓相切找到兩個(gè)待定系數(shù)間的關(guān)系，再利用勾股定理將PQ表示成關(guān)于q的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求其最值即可

試題解析：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)、直線l，m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)P（p, 0），Q（0, q）且PQ與圓A相切于點(diǎn)B，連結(jié)AB，以1百米為單位長(zhǎng)度，則圓A的方程為

（1）由題意可設(shè)直線PQ的方程為，

即

因?yàn)镻Q與圓A相切，

所以，解得，

故當(dāng)點(diǎn)P與O處2百米時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米.

（2）設(shè)直線PQ的方程為，

即.

因?yàn)镻Q與圓A相切，

所以，化簡(jiǎn)得

在Pt△POQ中，.

令

則

當(dāng)時(shí)，，即f(q)在（上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即f(q)在上單調(diào)遞增.

所以f(q)在時(shí)取得最小值，

故當(dāng)公路PQ的長(zhǎng)最短時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米.

答：（1）當(dāng)點(diǎn)P距O處2百米時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米；（2）當(dāng)公路PQ的長(zhǎng)最短時(shí)，OQ的長(zhǎng)為百米.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求證:∥平面

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①當(dāng)時(shí)， 為四邊形；②當(dāng)時(shí)， 為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)， 為六邊形；④當(dāng)時(shí)， 的面積為.

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（1）比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度（只需要給出結(jié)論），并求出甲組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2中所示的值；

（2）現(xiàn)從兩組數(shù)據(jù)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生里分別隨機(jī)抽取一人接受采訪，求被抽中的甲班學(xué)生成績(jī)高于乙班學(xué)生成績(jī)的概率.

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（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若存在，使得（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97．5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)？

（Ⅱ）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率．

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(1)求a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．

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