Question

15．設(shè)平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)與極坐標(biāo)極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，若已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，點(diǎn)F₁、F₂為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R）．
（Ⅰ）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)即可得到直線l的普通方程．
（II）設(shè)P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，2π），
則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，化為直角坐標(biāo)方程：3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），化為普通方程：x-1-y=0．
（II）設(shè)P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，2π），
則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$，其中α=arctan$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
∴點(diǎn)P到直線l的最大距離是$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．．