Question

20．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
（1）試判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，則求出定點(diǎn)，不過，則說明理由；
（2）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；
（3）求圓C截直線l所得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線系才得到方程組求解即可．
（2）通過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系．
（3）利用垂徑定理求解即可．

解答 （13分）．
解：（1）由l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
得（2x+y-7）m+x+y-4=0
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，
∴直線l過定點(diǎn)（3，1）
（2）∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴（3，1）在圓C內(nèi)
由（1）可知直線l與圓C恒相交
（3）記l過的定點(diǎn)（3，1）為A點(diǎn)，顯然當(dāng)l與CA垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，
∴弦長(zhǎng)最小值為$2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$，
此時(shí)${k_{CA}}=\frac{2-1}{1-3}=-\frac{1}{2}$，則k_l=2，
∴直線l的方程為2x-y-5=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．