Question

已知一個圓的圓心在x軸的正半軸上，且經(jīng)過點（0，0），直線x-y=0被該圓截得的弦長為2，則該圓的方程是（ ）
A．x²+y²+4x=0
B．x²+y²-4x=0
C．x²+y²-6x=0
D．x²+y²-4x+2=0

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)一個圓的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，0），且a大于0，半徑為r，表示出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓經(jīng)過（0，0），把（0，0）代入所設(shè)的圓的方程，得到a=r，可得到圓心坐標(biāo)為（r，0），然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，由已知弦長的一半，圓的半徑r以及d，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解可得到r的值，確定出圓心坐標(biāo)和半徑，進而確定出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0）（a＞0），圓的半徑為r，
∴圓的方程為（x-a）²+y²=r²（r＞0），
又圓經(jīng)過（0，0），
∴a²=r²，即a=r，
∴圓心坐標(biāo)為（r，0），
∴圓心到直線x-y=0的距離d=，
又弦長為2，即弦長的一半為1，
∴r²=d²+1²，即r²=r²+1，
解得：r=2，
∴圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r=2，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0．
故選B
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，勾股定理，以及垂徑定理，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．