Question

已知一個(gè)圓的圓心在x軸的正半軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），直線x-y=0被該圓截得的弦長(zhǎng)為2，則該圓的方程是

1. A.
   x²+y²+4x=0
2. B.
   x²+y²-4x=0
3. C.
   x²+y²-6x=0
4. D.
   x²+y²-4x+2=0

Answer 1

B
分析：根據(jù)一個(gè)圓的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，0），且a大于0，半徑為r，表示出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓經(jīng)過(guò)（0，0），把（0，0）代入所設(shè)的圓的方程，得到a=r，可得到圓心坐標(biāo)為（r，0），然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，由已知弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑r以及d，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解可得到r的值，確定出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而確定出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0）（a＞0），圓的半徑為r，
∴圓的方程為（x-a）²+y²=r²（r＞0），
又圓經(jīng)過(guò)（0，0），
∴a²=r²，即a=r，
∴圓心坐標(biāo)為（r，0），
∴圓心到直線x-y=0的距離d=，
又弦長(zhǎng)為2，即弦長(zhǎng)的一半為1，
∴r²=d²+1²，即r²=r²+1，
解得：r=2，
∴圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r=2，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，勾股定理，以及垂徑定理，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．