Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2．
（1）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，求f（x）的最大值、最小值；
（2）當(dāng)x∈[t，t+1]時(shí)，t∈R，求f（x）的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象和性質(zhì)，分析當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）的最大值、最小值；
（2）先將函數(shù)f（x）進(jìn)行配方，得到對(duì)稱軸，然后討論對(duì)稱軸與區(qū)間[t，t+1]的位置關(guān)系，從而得到最小值和最大值．、

解答 解：二次函數(shù)f（x）=x²-2x+2的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，
（1）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，
函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，在[1，4]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值1，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取最大值10，
（2）當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取最小值t²-2t+2，
當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取最大值t²+1，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤t≤1時(shí)，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值1，
當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取最大值t²+1，
當(dāng)0≤t$＜\frac{1}{2}$時(shí)，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值1，
當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取最大值t²-2t+2，
當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+1]上是減函數(shù)，
當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取最大值t²-2t+2，
當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取最小值t²+1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．