Question

已知向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=（

3

cosx，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

，求：
（1）f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f(

α

2

-

π

6

)-f(

α

2

+

π

12

)=

6

，且α∈（

π

2

，π）．求α．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間即可確定出f（x）的遞增區(qū)間；
（2）利用f（x）解析式化簡(jiǎn)已知等式求出sin（α-

π

4

）的值，根據(jù)α的范圍即可確定出α的度數(shù)．

解答： 解：f（x）=

a

•

b

-

3

=2

3

cos²x+2sinxcosx-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）；
（1）∵ω=2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

π；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（2）∵f（

α

2

-

π

6

）-f（

α

2

+

π

12

）=

6

，
∴2sinα-2cosα=

6

，
∴2

2

sin（α-

π

4

）=

6

，
∴sin（α-

π

4

）=

3

2

，
∵α∈（

π

2

，π），∴α-

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴α-

π

4

=

π

3

或

2π

3

，
∴α=

7π

12

或

11π

12

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．