Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

3-x

3+x

．（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）求不等式f（x）≥log_a（2x）的解．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可．
（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)的運算性質(zhì)，進行分類討論，即可

解答： 解：（1）要是函數(shù)有意義，則

3-x

3+x

＞0，
解得-3＜x＜3，
故函數(shù)f（x）的定義域為（-3，3）
（2）f（-x）=log_a

3+x

3-x

=log_a（

3-x

3+x

）^-1=-log_a

3-x

3+x

=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（3）∵f（x）=log_a

3-x

3+x

≥log_a（2x）．
當(dāng)0＜a＜1時，

3-x

3+x

≤2x，解得x≥

-7+ 73

4

，或x≤

-7- 73

4

，
∴x∈[

-7+ 73

4

，3）
當(dāng)a＞1時，

3-x

3+x

≥2x，解得

-7- 73

4

≤x≤

-7+ 73

4

，
∴x∈（-3，

-7+ 73

4

]

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運算及不等式的解法，要求熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是關(guān)鍵．