Question

3．求下列各題中的函數(shù)f（x）的解析式．
（1）已知f（$\sqrt{x}+2$）=x+4$\sqrt{x}$，求f（x）
（2）已知函數(shù)t=f（x）滿足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）

Answer 1

分析 （1）利用換元法設(shè)t=$\sqrt{x}$+2（t≥2），則$\sqrt{x}$=t-2，代入求出即可；（2）將x換成$\frac{1}{x}$，則$\frac{1}{x}$換成x，解出f（x）即可．

解答 解：（1）設(shè)t=$\sqrt{x}$+2（t≥2），則$\sqrt{x}$=t-2，即x=（t-2）²，
∴f（t）=（t-2）²+4（t-2）=t²-4，
∴f（x）=x²-4（x≥2）．
（2）由2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x，①
將x換成$\frac{1}{x}$，則$\frac{1}{x}$換成x，得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{2}{x}$，②
①×2-②，得3f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，
∴f（x）=$\frac{4}{3}$x-$\frac{2}{3x}$．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，換元法是常用方法之一，本題是一道基礎(chǔ)題．