Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4n-2
（1）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）c_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{4n}{{2}^{4n-2}}$=$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）c_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{4n}{{2}^{4n-2}}$=$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{1}+\frac{2}{16}+\frac{3}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{n}{1{6}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{16}{S}_{n}$=$\frac{1}{16}+\frac{2}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{1{6}^{n-1}}$+$\frac{n}{1{6}^{n}}$，
∴$\frac{15}{16}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{16}+\frac{1}{1{6}^{2}}$+…+$\frac{1}{1{6}^{n-1}}$-$\frac{n}{1{6}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{1{6}^{n}}}{1-\frac{1}{16}}$-$\frac{n}{1{6}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{256}{225}$-$\frac{256+225n}{225•1{6}^{n}}$．
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立，
∴$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{m}{20}$，
∴m≥10，
因此使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m的值為10．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式、“裂項求和”與不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．