Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD， ，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC．

（1）證明：PC⊥平面BED；
（2）設(shè)二面角A﹣PB﹣C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

設(shè)D（ ，b，0），則C（2 ，0，0），P（0，0，2），E（ ，0， ），B（ ，﹣b，0）

∴ =（2 ，0，﹣2）， =（ ，b， ）， =（ ，﹣b， ）

∴ = ﹣ =0， =0

∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E

∴PC⊥平面BED

（2）

解： =（0，0，2）， =（ ，﹣b，0）

設(shè)平面PAB的法向量為 =（x，y，z），則

取 =（b， ，）

設(shè)平面PBC的法向量為 =（p，q，r），則

取 =（1，﹣ ， ）

∵平面PAB⊥平面PBC，∴ =b﹣ =0．故b=

∴ =（1，﹣1， ）， =（﹣ ，﹣ ，2）

∴cos＜ ， ＞= =

設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，θ∈[0， ]，則sinθ=

∴θ=30°

∴PD與平面PBC所成角的大小為30°

【解析】（1）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（ ，b，0），從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；（2）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若．