【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD, ,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.

(1)證明:PC⊥平面BED;
(2)設(shè)二面角A﹣PB﹣C為90°,求PD與平面PBC所成角的大。

【答案】
(1)

證明:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,

設(shè)D( ,b,0),則C(2 ,0,0),P(0,0,2),E( ,0, ),B( ,﹣b,0)

=(2 ,0,﹣2), =( ,b, ), =( ,﹣b,

= =0, =0

∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E

∴PC⊥平面BED


(2)

解: =(0,0,2), =( ,﹣b,0)

設(shè)平面PAB的法向量為 =(x,y,z),則

=(b, ,)

設(shè)平面PBC的法向量為 =(p,q,r),則

=(1,﹣ ,

∵平面PAB⊥平面PBC,∴ =b﹣ =0.故b=

=(1,﹣1, ), =(﹣ ,﹣ ,2)

∴cos< >= =

設(shè)PD與平面PBC所成角為θ,θ∈[0, ],則sinθ=

∴θ=30°

∴PD與平面PBC所成角的大小為30°


【解析】(1)先由已知建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)D( ,b,0),從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo),利用向量垂直的充要條件,證明PC⊥BE,PC⊥DE,從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可;(2)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用兩平面垂直的性質(zhì),即可求得b的值,最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值,進(jìn)而求得線面角
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;要證明一條直線和一個(gè)平面平行,也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設(shè)直線的方向向量是,平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為,若

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(1)求該射手恰好命中一次得的概率;
(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

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(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意x>0,g(x)<1+e2

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(1)證明:2≤xn<xn+1<3;
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