Question

【題目】電容器充電后，電壓達(dá)到100 V，然后開(kāi)始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U＝Aebt(b<0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：

t(s)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
U(V)	100	75	55	40	30	20	15	10	10	5	5

試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程．(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題)

Answer 1

【答案】.

【解析】

對(duì)表達(dá)式，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程。根據(jù)題目的數(shù)據(jù)求解y,x的值，利用線性回歸方程中的的計(jì)算公式，得出線性回歸方程，再還原為非線性回歸方程。

對(duì)U＝Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，

則y＝a＋bx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表：

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	4.6	4.3	4.0	3.7	3.4	3.0	2.7	2.3	2.3	1.6	1.6

根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖所示，

從圖中可以看出，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，

由表中數(shù)據(jù)求得＝5，≈3.045，進(jìn)而可以求得≈－0.313，＝－＝4.61.

所以y對(duì)x的線性回歸方程為y＝4.61－0.313x.

由y＝ln U，得U＝ey，U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x.

因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為.