Question

下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

；
②在四面體ABCD中，若

AB

•

CD

=0，

AC

•

BD

=0，則

AD

•

BC

=0；
③在四面體ABCD中點(diǎn)，且滿足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AB

•

AD

=0．則△BDC是銳角三角形
④對(duì)空間任意點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若

OP

=x

OA

+y

OA

+z

OC

（其中x，y，z∈R且x+y+z=1），則P，A，B，C四點(diǎn)共面．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：①根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行判斷；
②根據(jù)向量垂直和向量數(shù)量積之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；
③根據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行判斷即可．
④根據(jù)空間四點(diǎn)共面的等價(jià)條件進(jìn)行判斷．

解答： 解：①根據(jù)向量的加法法則可知

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

，∴①正確；
②令

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AC

=

c

，
∵

AB

•

CD

=0，

AC

•

BD

=0，
∴

AB

?(

AD

-

AC

)=

a

?(

b

-

c

)=0，解得

a

•

b

=

a

•

c

①

AC

?(

AD

-

AB

)=

c

?(

b

-

a

)=0，解得

c

?

b

=

a

?

c

  ②，
∴

c

?

b

=

a

?

b

，即

c

?

b

-

a

?

b

=

b

?(

c

-

a

)=0，
即

AD

?(

AC

-

AB

)=

AD

?

BC

=0，∴②正確．
③∵

BC

=

AC

-

AB

，

BD

=

AD

-

AB

，

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AB

•

AD

=0．
∴

BC

?

BD

=(

AC

-

AB

)?(

AD

-

AB

)=

AB

2＞0，
∴∠CBD為銳角，同理

CD

•

CB

＞0，

DB

•

DC

＞0，
即△BDC是銳角三角形，∴③正確．
④對(duì)空間任意點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若

0P

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），只有當(dāng)x+y+z=1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)才共面，∴④正確．
故正確是個(gè)數(shù)有4個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與向量有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握向量的有關(guān)概念，考查學(xué)生的推理判斷能力．