Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=6，且當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n-1．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是等比數(shù)列；
（2）若對(duì)任意n∈N^*，不等式3n²-2n-5＜（2-λ）a_n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將條件變形可得$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{3{a}_{n-1}}{n}$，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n，由題意可得2-λ＞$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$恒成立，構(gòu)造數(shù)列令f（n）=$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$，求得單調(diào)性，可得最大值，即可得到所求范圍．

解答 （1）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n-1．
即有a_n=3a_n-1+$\frac{3{a}_{n-1}}{n}$=$\frac{3{a}_{n-1}（n+1）}{n}$，
即為$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{3{a}_{n-1}}{n}$，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是首項(xiàng)為$\frac{{a}_{1}}{2}$=3，公比為3的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=3ⁿ，即an=（n+1）•3ⁿ，
不等式3n²-2n-5＜（2-λ）a_n恒成立，即為
（3n-5）（n+1）＜（2-λ）（n+1）•3ⁿ，
即有2-λ＞$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$恒成立，
令f（n）=$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$，n=1時(shí)，f（1）=-$\frac{2}{3}$，
n＞1時(shí)，f（n+1）-f（n）=$\frac{3n-2}{{3}^{n+1}}$-$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$=$\frac{13-6n}{{3}^{n+1}}$，
即有n=1，2時(shí)，f（3）＞f（2）＞f（1），
當(dāng)n≥3時(shí)，f（n+1）＜f（n）＜…＜f（3），
即有f（3）取得最大值，且為$\frac{4}{27}$，
則2-λ＞$\frac{4}{27}$，解得λ＜$\frac{50}{27}$．
即有λ的取值范圍是（-∞，$\frac{50}{27}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．