Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，最后根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

(2sinxcosx)+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1的最小正周期為π．
（2）∵f(x)=2sin(2x+

π

6

)在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數(shù)，在[

π

6

，

π

2

]上為減函數(shù)，
又f(0)=1，f(

π

6

)=2，f(

π

2

)=-1，
∴函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，最
小值為-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用．