Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=e^x-x-1，若對于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=

(2x-1)(x-1)

x

．令f'（x）=0得：x1=

1

2

，x2=1．列出表格即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值；
（II）對于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，則有f（x）_max≤g（x）_min．利用導(dǎo)數(shù)分別在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
令f'（x）=0得：x1=

1

2

，x2=1
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增

因此，當x=

1

2

時，f（x）有極大值，且f(x)極大值=-

5

4

-ln2；
當x=1時，f（x）有極小值，且f（x）_極小值=-2．
（Ⅱ）由g（x）=e^x-x-1，則g'（x）=e^x-1，
令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（-∞，0）是減函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)，
即g（x）_最小值=g（0）=0．
對于任意的x₁∈（0，+∞），x₂∈R，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，則有f（x₁）≤g（0）即可．
即不等式f（x）≤0對于任意的x∈（0，+∞）恒成立．
f′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

（1）當a=0時，f′(x)=

1-x

x

，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）_最大值=f（1）=-1＜0，
∴a=0符合題意．
（2）當a＜0時，f′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）_最大值=f（1）=-a-1≤0，
得-1≤a＜0，
∴-1≤a＜0符合題意．
（3）當a＞0時，f′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

，f'（x）=0得x1=

1

2a

，x2=1，
a＞

1

2

時，0＜x₁＜1，令f'（x）＞0，解得0＜x＜

1

2a

或x＞1；
令f'（x）＜0，解得

1

2a

＜x＜1．
∴f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，
而當x→+∞時，f（x）→+∞，這與對于任意的x∈（0，+∞）時f（x）≤0矛盾．
同理0＜a≤

1

2

時也不成立．
綜上所述：a的取值范圍為[-1，0]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考察了推理能力和計算能力，屬于難題．