Question

已知定義域為R的函數f（x）滿足：
①f（x+y）=f（x）•f（y）對任何實數x、y都成立；
②存在實數x₁、x₂使，f（x₁）≠f（x₂）．
求證：
（1）f（0）=1；
（2）f（x）＞0．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：證明題,函數的性質及應用

分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意條件②的運用，舍去一個；
（2）將x，y均換成

x

2

，得到f（x）=f²（

x

2

）即f（x）≥0，注意運用條件②，舍去f（x）=0，即可得證．

解答： 證明：（1）令x=y=0則f（0）=f²（0），
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0則令y=0，即有f（x）=f（x）•f（0）=0對x∈R均成立，與②矛盾，
故f（0）≠0，
若f（0）=1，則f（x）=f（x）成立，
∴f（0）=1；
（2）將x，y均換成

x

2

，則
f（x）=f²（

x

2

）即f（x）≥0，
若f（x）=0這與②矛盾，
∴f（x）＞0成立．

點評：本題主要考查解決抽象函數的常用方法：賦值法和賦式法，正確賦值和賦式是解題的關鍵，注意條件的充分運用．