Question

已知（x+

3

3 x

）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64．
（1）求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由題意可得

4n

2n

=64，求得 n=6，可得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得含x²的項(xiàng)的系數(shù)．
（2）在展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)6-

4r

3

為有理數(shù)，可得r=0，3，6，從而求得有理項(xiàng)．
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)為a_r，由通項(xiàng)公式可得a_r=

C

r 6

•3^r，可得展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)，從中找出系數(shù)最大的．

解答： 解：（1）令x=1，可得（x+

3

3 x

）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為4ⁿ，而其二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ，
由

4n

2n

=64，求得 n=6，故展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 6

•3^r•x6-

4r

3

，
令6-

4r

3

=2，求得r=3，∴含x²的項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 6

•3³=540．
（2）由（1）可得，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 6

•3^r•x6-

4r

3

，令6-

4r

3

為有理數(shù)，可得r=0，3，6，
故有理項(xiàng)為 T₁=x⁶，T₄=540x²，T₇=

36

x2

．
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)為a_r=

C

r 6

•3^r，
則展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)分別為 a₀=1，a₁=18，a₂=135，a₃=540，a₄=1215，a₅=1458，a₆=729，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第六項(xiàng)，T₆=1458x

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．