已知O是三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且2x+10y=5，則三角形ABC的面積為
 
．
考點：向量在幾何中的應(yīng)用
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：取AC中點為D，則OD⊥AC，把
AO
寫為
AD
+
DO
，然后用兩種方法寫出
AO
•
AC
，由數(shù)量積相等結(jié)合2x+10y=5求得cos∠BAC，進(jìn)一步得到其正弦值，代入三角形的面積公式求得三角形ABC的面積．
解答： 解：當(dāng)B為直角時，由AB=6，AC=10，求得BC=8，滿足
AO
=x
AB
+y
AC
，且2x+10y=5，
此時三角形ABC的面積為S=
1
2
•AB•AC=
1
2
×6×8=24；
當(dāng)B不是直角時，
取AC中點為D，則OD⊥AC，
DO
⊥
AC
，
∵
AO
=
AD
+
DO
，
∴
AO
•
AC
=
AD
•
AC
+
DO
•
AC
=|
AD
||
AC
|cos0=5×10=50．
又
AO
=x
AB
+y
AC
，
∴
AO
•
AC
=(x
AB
+y
AC
)•
AC
=x
AB
•
AC
+y|
AC
|2=x|
AB
||
AC
|cos∠BAC+y|
AC
|2
=60x•cos∠BAC+100y，
∴60x•cos∠BAC+100y=5，
又2x+10y=5，
cos∠BAC=
1
3
，則sin∠BAC=
2
2
3
．
∴三角形ABC的面積為S=
1
2
AB•AC•sin∠BAC=
1
2
×6×10×
2
2
3
=20
2
．
故答案為：24或20
2
．
點評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知點M（a，3）是拋物線y2=4x上一定點，直線AM、BM的斜率互為相反數(shù)，且與拋物線另交于A、B兩個不同的點．
（1）求點M到其準(zhǔn)線的距離；
（2）求證：直線AB的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P為△ABC內(nèi)一點，
PA
+2
PB
+3
PC
=
0
，則S△PAB：S△PBC：S△PAC=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是正三角形，過底面一邊BC與側(cè)棱AA1上的一點所作的三棱柱的截面中，面積的最大值是2
3
，與底面所成二面角的最大值是
π
3
，則該三棱柱的體積等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

經(jīng)過點M（2，1）作直線l，交橢圓
x2
16
+
y2
4
=1于A，B兩點，如果點M恰好為線段AB的中點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=2，tan∠SDA=
1
2
，E為SD的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面SAB；
（Ⅱ）求三棱錐D-AEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，側(cè)面BC1是邊長為3的正方形，AA1到側(cè)面BC1的距離為2，E為側(cè)棱CC1上一點，且C1E=1，則三棱錐E-A1B1C1的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3
5
，AD=6，BD是對角線，過A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點D到點P的位置．
（1）若平面PAE與平面ABCE所形成的二面角P-AE-B的大小為60°，求四棱錐P-ABCE的體積；
（2）若PB=
41
，求二面角P-AB-E的余弦值．

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